浙大数据结构的编程题——图 哈利·波特的考试

数据结构-图-哈利·波特的考试

哈利·波特要考试了，他需要你的帮助。这门课学的是用魔咒将一种动物变成另一种动物的本事。例如将猫变成老鼠的魔咒是haha，将老鼠变成鱼的魔咒是hehe等等。反方向变化的魔咒就是简单地将原来的魔咒倒过来念，例如ahah可以将老鼠变成猫。另外，如果想把猫变成鱼，可以通过念一个直接魔咒lalala，也可以将猫变老鼠、老鼠变鱼的魔咒连起来念：hahahehe。

现在哈利·波特的手里有一本教材，里面列出了所有的变形魔咒和能变的动物。老师允许他自己带一只动物去考场，要考察他把这只动物变成任意一只指定动物的本事。于是他来问你：带什么动物去可以让最难变的那种动物（即该动物变为哈利·波特自己带去的动物所需要的魔咒最长）需要的魔咒最短？例如：如果只有猫、鼠、鱼，则显然哈利·波特应该带鼠去，因为鼠变成另外两种动物都只需要念4个字符；而如果带猫去，则至少需要念6个字符才能把猫变成鱼；同理，带鱼去也不是最好的选择。

输入格式:

输入说明：输入第1行给出两个正整数N (≤100)和M，其中N是考试涉及的动物总数，M是用于直接变形的魔咒条数。为简单起见，我们将动物按1~N编号。随后M行，每行给出了3个正整数，分别是两种动物的编号、以及它们之间变形需要的魔咒的长度(≤100)，数字之间用空格分隔。

输出格式:

输出哈利·波特应该带去考场的动物的编号、以及最长的变形魔咒的长度，中间以空格分隔。如果只带1只动物是不可能完成所有变形要求的，则输出0。如果有若干只动物都可以备选，则输出编号最小的那只。

输入样例:

6 11
3 4 70
1 2 1
5 4 50
2 6 50
5 6 60
1 3 70
4 6 60
3 6 80
5 1 100
2 4 60
5 2 80

输出样例:

4 70

思路

  1. 单源最短路径问题——从固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径
    1. 无权图的单源最短路径——BFS算法
    2. 有权图的单源最短路径——Dijkstra算法——迪杰特斯拉算法
  2. 多源最短路径问题——求任意两顶点间的最短路径——Floyd算法——弗洛里德算法

有权图的单源最短路径——Dijkstra算法

Dijkstra算法用于求解给定图G和给定起始顶点s，求s到其他各个顶点的最短距离。Dijkstra算法的策略是：

  1. 设置集合S，存放已被访问的顶点集。
  2. 然后从未被访问过的顶点集中选择到达S集合的最短距离的顶点u，加入到S中。
  3. 以u为中介点，更新顶点集S到剩余未访问的顶点的距离。
  4. 循环直到连通分量的所有顶点都被收录。

伪代码实现

　　1.首先需要一个bool型数组vis记录是否被加入顶点集S；2.然后需要一个dis数组记录起始顶点s到所有其他顶点的最小距离。3.如果有需要记录最短路径，还需要有记录路径的数组path。其伪代码如下所示：

//G表示图，可使用全局变量，数组dis表示从起始顶点到其他顶点的最短路径
Dijkstra(G,dis[],s){
    初始化；                                    //初始化dis数组为无穷大，并将起点s的dis初始为0；
    for(循环n次){
        u=使dis[u]最小的还未被访问的顶点的编号
        记u被访问；
        for(从u出发所能到达的所有顶点v){
            if(v未被访问&&以u为中介点使s到v的最短距离dis[v]更优){
                优化dis[v];
            }
        }
    }
}

　　

求任意两点间的最短路径——Floyd算法

Floyd算法又称为插点法，是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法，与Dijkstra算法类似。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

Floyd算法的思路相当简洁，对于整个图来讲，任意的顶点i和j如果存在一个中间顶点k使得顶点i到j的路径变得更短，就用k来优化i到j的路径，这样显然枚举所有的n个顶点，是他们分别作为中间顶点 优化每一对顶点之间的距离，就获得了任意两点之间的最短路径，这就是多源路径最短的Floyd算法的思想。其伪代码如下：

伪代码实现

for(枚举所有n个顶点，然他们依此充当中间顶点k){
    for(以k为中介点，枚举所有的定点对i和j，i∈[0,n-1],j∈[0,n-1]){        //此处为两重循环，遍历所有的顶点对儿
        if(以k为中间顶点，使距离更优){
            更新i到j的距离；
        }
    }
}

找到最长距离 最小的情况进行输出

Code

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <iterator>
#include <math.h>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;

/* 邻接矩阵存储 - 多源最短路算法 */


#define WeightType vector<vector<int>>
#define MGraph vector<vector<int>>
#define MAX 100000

void Floyd(MGraph Graph, WeightType &D)
{
	int i, j, k;


	for (k = 0; k < Graph.size(); k++)
		for (i = 0; i < Graph.size(); i++)
			for (j = 0; j < Graph.size(); j++)
				if (D[i][k] + D[k][j] < D[i][j]) {
					D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
				}
}


int main() {
	//begin:			end:
	ios::sync_with_stdio(false);

	int N, M;
	cin >> N >> M;
	MGraph Graph(N, vector<int>(N, MAX));
	int x, y, w;
	for (int i = 0; i < M; i++) {
		cin >> x >> y >> w;
		x--; y--;//回归到从0开始
		Graph[x][y] = w;
		Graph[y][x] = w;
	}
	WeightType D = Graph;

	Floyd(Graph, D);

	vector<int> max(N,0);
	pair<int, int> min(N,MAX);
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		for (int j = 0; j < N; j++) {//找出每种动物 转换成其他 动物的最长距离
			if (i == j) {
				//cout << "--" << " ";
				continue;
			}
			//cout << D[i][j] << " ";

			if (max[i] < D[i][j]) {
				max[i] = D[i][j];//
			}
		}
		//cout << endl;
		if (max[i] < min.second) { //找出最长距离中的最短距离
			min.second = max[i];
			min.first = i;
		}
	}
	if (min.second == MAX) {
		cout << "0" << endl;
		return 0;
	}

	cout << min.first+1 << " " << min.second << endl;

	return 0;
}